Können Sie über den Webmailer testen, ob die Email im Posteingang landet? Also bevor Sie die Emails mit irgend einem Mailclient abrufen, bitte nochmal das Kontaktformular ausfüllen und absenden und im Webmailer prüfen, ob die Email im Posteingang auftaucht.
Bei dem exotischen Mailprogramm könnte es sein, dass es keine mit PHP-Mail generierten Mails akzeptiert. Oder wir müssten noch einen SPF-Record für die Domain setzen. Ich kann leider nicht sagen, woran sich der eigentliche Mail-Client stört, aber wenn die Mail im Webmailer zu sehen ist, hängt das Problem definitiv mit dem Mail-Client zusammen.