Um meinen Vorredner noch etwas zu ergänzen:
Das ist unterschiedlich. Generell finden Sie die notwendigen Ordner im Backend unter System->Systeminfo->Permissions. Diese Ordner sollten auf Grün sein, wobei einige davon nach Fertigstellung der Seite wieder auf 755 gestellt werden können. Das sind insbesondere Ordner, in die nicht ständig geschrieben wird.
/cache z.B. benötigt immer 777, /components nur dann, wenn eine Komponente installiert werden soll, gleiches gilt auch für /modules oder /administrator/components
Dann gibt es noch komponentenabhängige Ordner, z.B. /images/zoom, wenn Sie die Zoom-Gallery betreiben. In diesem Ordner werden neue Bilder hochgeladen, sollte auch auf 777 stehen, gleiches gilt für /images/comprofiler, wenn Sie den Community Builder nutzen, hier werden die Avatare abgelegt und somit ist auch für diesen Ordner 777 notwendig.
Die Liste liese sich jetzt beliebig erweitern. Generell sollten Sie aber darauf achten, die Rechte unter System->Systeminfo->Permissions richtig zu setzen.
Wenn doch etwas nicht passt, gibt es eine Fehlermeldung die man analysieren kann, bzw. in welcher der Pfad und Ordner angezeigt werden, für den die Schreibrechte nachträglich gesetzt werden müssen.