OK, die Ursache ist gefunden.
Beim Login ins Backend schreibt Joomla in der Datenbank eine Session in die Tabelle jos_session. Wenn der Webspace allerdings voll ist, kann natürlich nichts mehr auf dem Server geschrieben werden, weshalb die Session dann ungültig ist. Das ist dann auch der Grund, warum Ihr Backup nicht korrekt hochgeladen werden konnte.
Nachdem der Webspace jetzt vorübergehend erhöht wurde, funktioniert der Login auch wieder, gleiches sollte für das Aufspielen des Backups gelten.